Operasi Biner

Misalkan himpunan A tidak kosong.  Operasi biner * pada A adalah pemetaan dari setiap pasangan berurutan  \(x,y\)   dalam A (himpunan bagian dari A) dengan tepat satu elemen \(x*y\) dalam A.

Himpunan bilangan bulat Z mempunyai dua operasi biner yang dikenakan padanya yaitu penjumlahan (+) dan perkalian (.).  Dalam hal ini untuk setiap pasangan x dan y dalam Z, \(x+y\) dan  \(x.y\)  dikawankan secara tunggal dengan suatu elemen dalam Z. Operasi biner mempunyai dua bagian dari definisi yaitu:

1. Terdefinisikan dengan baik (well-defined) yaitu untuk setiap pasangan berurutan x, y dalam A dikawankan dengan tepat satu nilai \(x*y\).
2. A tertutup di bawah operasi * yaitu untuk setiap x, y himpunan bagian A maka \(x*y\) masih himpunan bagian A.

Suatu  sistim  aljabar  terdiri  dari  himpunan  objek  dengan  satu atau  lebih  operasi  yang didefinisikan  padanya. Bersama  dengan hukum-hukum yang dibutuhkan dalam operasi.

Misalkan * operasi biner pada himpunan  \(A\) :

1. Operasi * assosiatif jika \(\left(a*b\right)*c=a*\left(b*c\right)\) untuk semua \(a,b,c\) dalam \(A\).
2. Operasi * komutatif jika \(a*b=b*a\) untuk semua \(a,b\) dalam  \(A\) (himpunan bagian dari A).

Contoh Soal.
Tentukan apakah deskripsi operasi di bawah ini merupakan Operasi Biner!

• Pada \(Z\), dimana \(a*b=a^{b}\)

Diketahui \(Z\) adalah himpunan  bilangan bulat. Didefinisikan  \(a*b=a^{b}\), karena 2 dan -1 dalam \(Z\) dan \(2*(-1)=2^{-1}=\frac{1}{2}=0.5\) tidak berada dalam \(Z\) maka \(Z\) tidak tertutup di bawah operasi * sehingga * bukan operasi biner pada \(Z\).

• Pada \(Z^{+}\), dimana \(a*b=a^{b}\)

Diketahui \(Z^{+}\) adalah himpunan bilangan bulat positif. Didefinisikan \(a*b=a^{b}\), Jelas  bahwa  *   terdefinisikan  dengan  baik  karena  rumus  \(a^{b}\) memberikan hasil tunggal untuk setiap \(a\), \(b\) dalam \(Z^{+}\). Untuk  sebarang   \(a\), \(b\)  dalam  \(Z^{+}\)  maka  jelas  bahwa   \(a^{b}\)   masih merupakan bilangan bulat positif.  Lebih jauh \(a^{b}>0\) jika  \(a>0\) dan \(b>0\).  Berarti  hasil  dari \(a^{b}\)  masih  merupakan  bilangan  bulat positif  dan akibatnya \(Z^{+}\)  tertutup di bawah operasi * sehingga * merupakan operasi biner pada \(Z^{+}\).

• Pada \(R\), dimana \(a*b=a\sqrt{b}\)

Diketahui \(R\) adalah himpunan semua bilangan riil. Didefinisikan  \(a*b=a\sqrt{b}\), karena 1 dan -2 dalam \(R\) dan  \(1*(-2)=1\sqrt{-2}=\sqrt{-2}\) tidak berada dalam \(R\) maka \(R\) tidak tertutup di bawah operasi * sehingga * bukan operasi biner pada \(R\). (Intinya cari dua buah contoh bilangan riil yang tidak memenuhi persamaan di atas).

• Pada \(Z\), dimana \(a*b=2a+b\)

Diketahui \(Z\) adalah himpunan  bilangan bulat. Didefinisikan  \(a*b=2a+b\),  Jelas bahwa *   terdefinisikan  dengan  baik  karena  rumus \(2a+b\) memberikan hasil tunggal untuk setiap \(a\), \(b\) dalam \(Z\).  Untuk  sebarang   \(a\), \(b\)  dalam  \(Z\)  maka  jelas  bahwa   \(2a+b\)   masih merupakan bilangan bulat.   Berarti  hasil  dari \(2a+b\)  masih  merupakan  bilangan  bulat dan akibatnya \(Z\)  tertutup di bawah operasi * sehingga * merupakan operasi biner pada \(Z\).

• Sebuah operasi biner * didefinisikan pada \(A=\left\{a,b,c,d\right\}\) dengan tabel berikut ini :

*	a	b	c	d
a	a	c	b	d
b	d	a	b	c
c	c	d	a	a
d	d	b	a	c

Hitunglah (jawaban) :
a.  \(c*d=a\) dan \(d*c=a\)
b.  \(b*d=c\) dan \(d*b=b\)
c.  \(a*(b*c) =c\) dan \((a*b)*c =a\)
d.  Apakah * komutatif ? Tidak
e.  Apakah * Assosiatif ? Tidak

• Lengkapi tabel berikut sehingga Operasi Biner * bersifat Komutatif.

*	a	b	c
a	b	...	...
b	c	b	a
c	a	...	c

Jawaban :

Agar Operasi Biner * Komutatif  maka :

\(a*b=b*a=c\)

\(a*c=c*a=a\)

\(b*c=c*b=a\),   sehingga tabelnya menjadi:

*	a	b	c
a	b	c	a
b	c	b	a
c	a	a	c

• Lengkapi Tabel berikut sehingga Operasi Biner * bersifat Asosiatif.

*	a	b	c	d
a	a	b	c	d
b	b	a	d	c
c	c	d	a	b
d	...	...	...	...

Jawaban :
Agar Operasi Biner * Asosiatif maka :
\((a*b)*c=a*(b*c)\)
\((a*b)*d=a*(b*d)\), sehingga tabelnya menjadi :

*	a	b	c	d
a	a	b	c	d
b	b	a	d	c
c	c	d	a	b
d	d	c	b	a

Semigroups, Monoids dan Groups>>