12 September 2017

Contoh soal pembuktian Matematika Lanjut dengan Induksi

Berikut adalah contoh pembuktian beberapa soal matematika lanjut untuk Kriptografi yang pernah menjadi tugas dari kuliah Matematika Lanjut. Pembuktian dengan metode Induksi.


  • Buktikan untuk setiap \(n\)  bilangan bulat positif berlaku \(1 +3+5+...+(2n-1)=n^{2}\)
Jawaban :

1.  Uji untuk nilai \(n\) terkecil, yaitu \(n=1\);  \((2n-1)=n^{2}\Rightarrow (2.1-1) =1^{2}\Rightarrow1=1\) ......(Benar)

2. Asumsikan untuk \(n=k\) , \(k\) bilangan bulat positif,  \(1+2+3+...+(2k-1)=k^{2}\) adalah benar.

3. Buktikan untuk \(n=k+1\) :
\(\Rightarrow 1+2+3+...+(2k-1)+(2(k+1)-1)=(k+1)^{2}\),
Dengan memasukkan persamaan pd no. 2  didapat :
\(\Rightarrow k^{2}+(2k+2-1)=k^{2}+2k+1\)
\(\Rightarrow k^{2}+2k+1 = k^{2}+2k+1\)
Jadi terbukti untuk setiap \(n\)  bilangan bulat positif berlaku \(1 +3+5+...+(2n-1)=n^{2}\)


  • Buktikan untuk setiap \(n\) bilangan bulat positif dan \(n\geq2\) berlaku : \(5^{n}+9<6^{n}\)
Jawaban :

1. Uji untuk nilai \(n\) terkecil, yaitu \(n=2\),
\(5^{2}+9<6^{2}\Rightarrow 34 < 36\)......(Benar)

2. Asumsikan untuk \(n=k\), \(k\) bilangan bulat positif, \(5^{k}+9<6^{k}\) adalah benar.
\(6(5^{k}+9)<6.6^{k}\) ....(kedua ruas dikalikan 6) didapatkan :
\(6.5^{k}+54<6.6^{k}\)......(Berarti bisa diasumsikan jika ini juga benar).

3.  Buktikan untuk \(n=k+1\) :
\(\Rightarrow 5^{k+1}+9<6^{k+1}\)
\(\Rightarrow 5^{k+1}+9<6^{k}.6^{1}\)
\(\Rightarrow 5^{1}.5^{k}+9<6^{1}.6^{k}\)
\(5.5^{k}+9<6.6^{k}\)
Dari persamaan pada no.2 kita ketahui benar bahwa :
\(6.5^{k}+54<6.6^{k}\)
Berarti ini juga benar bahwa :
\(5.5^{k}+9<6.6^{k}\),
atau bisa dituliskan :
\(5.5^{k}+9<6.5^{k}+54\)
karena :
\(5.5^{k}<6.5^{k}\)  dan \(9<54\)
Jadi terbukti untuk setiap \(n\) bilangan bulat positif dan \(n\geq2\) berlaku \(5^{n}+9<6^{n}\)




1 comment:

SAAT RESTORAN DIBUKA KEMBALI, INILAH YANG HARUS ANDA KETAHUI TENTANG AC, ALIRAN UDARA, DAN COVID-19

Pengunjung yang makan di restoran mungkin bisa memberi tahu banyak tentang bagaimana para penggiat bisnis restoran berusaha mengurangi risik...